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三份历史试卷呈现出清楚的结构：先考模糊集合与映射，再考模糊推理，然后考神经网络分类区域，最后考网络训练与 CNN。 复习时应把每一类题练成一套可以从定义走到结果的步骤。

本章核对的是用户提供的 EE4285 Computational Intelligence 2022–2023、2023–2024、2024–2025 学年第二学期试卷。它们作为本系列 EE6285 学习的参考材料，不能据此认定 EE6285 当前或未来考试沿用同样范围。下文解答均为依据题目独立推导的学习解析，不是 NTU 官方参考答案或评分标准。

1. 卷头能确认什么

学年 卷头月份 课程代码 时间 作答规则 正文页数
2022–2023 April / May 2023 EE4285 2 小时 闭卷；4 题全部作答；各大题等分 4
2023–2024 April / May 2024 EE4285 2 小时 闭卷；4 题全部作答；各大题等分 3
2024–2025 April / May 2025 EE4285 2 小时 闭卷；4 题全部作答；各大题等分 3

三份卷的小题分数均累计为每大题 25 分、全卷 100 分。“正文页数”按卷头及印刷页码统计；本地 PDF 分别有 8、4、4 页，额外页是空白或考场说明。以下 p1、p2 等均指正文印刷页码，恰与这些 PDF 的前几页一致。

原卷中存在需要保留的歧义：2024–2025 Q3(a) 把第二个输入范围印成 ，这是空区间，疑似排印错误。本章只记录该题考点，不擅自修正其范围后给出“标准答案”。模糊规则题个别函数右侧还混用了变量字母；需要用到时，下文会说明解释方式。

2. 三年考点与分数矩阵

2022–2023

题号与页码 考点 分数 解题时应写出的关键内容
Q1(a)，p1 语言修饰、交并补 6 very 对应平方；more or less 对应平方根；明确 min、max、补运算
Q1(b)，p2 模糊子集证明 9 比较所有输入上的隶属度，不能只检查几个采样点
Q1(c)，p2 平方映射的扩张原理 10 求全部原像，在原像上取最大隶属度
Q2(a)，p2 Mamdani 关系合成与投影 10 先合成两条关系，再对未保留的坐标取上确界
Q2(b)，p2 双输入 GMP、max-product 合成 15 区分规则关系中的 min 与合成步骤中的乘积
Q3(a)，p2–3 给三角形区域设计双极性网络 15 边界直线、朝向、偏置、输出层逻辑
Q3(b)，p3 给网络权重反求分类区域 10 隐层半平面与输出层符号组合
Q4(a)，p4 BP 训练过程 9 前向、损失、反向梯度、权重更新、迭代
Q4(b)，p4 CNN 结构与各层操作 8 不只列层名，还解释每层做什么
Q4(c)，p4 梯度消失 8 链式乘积与饱和导数，并解释应对方法

2023–2024

题号与页码 考点 分数 解题时应写出的关键内容
Q1(a)，p1 补集与浓缩集合的交 7 求两条候选隶属度相等的位置，正确分段
Q1(b)，p1 非单调分段映射的扩张原理 18 比较不同分支的原像；先看是否存在隶属度为 1 的原像
Q2(a)，p2 多规则 GMP、max-product 合成 18 每条规则分别推理，再聚合输出
Q2(b)，p2 连续重心法 7 按聚合输出的真实分段计算面积与一阶矩
Q3(a)，p2 给权重反求双极性网络区域 10 把隐层输出组合转成几何条件
Q3(b)，p3 三角形区域设计网络 15 用三个半平面的交构成三角形
Q4(a)，p3 训练数据覆盖与泛化 6 区分有代表性的覆盖和枚举全部输入；说明分布偏移风险
Q4(b)，p3 迁移学习策略 14 按目标数据量及与源域的相似度讨论冻结与微调
Q4(c)，p3 动量项 5 写更新式并解释历史更新的作用

2024–2025

题号与页码 考点 分数 解题时应写出的关键内容
Q1(a)，p1 笛卡尔模糊关系及投影 12 构造关系后，分别对另一个变量取 supremum
Q1(b)，p1 绝对值正弦映射的扩张原理 13 多原像与最大隶属度，不把多原像平均
Q2(a)，p2 离散双输入 GMP、max-min 合成 15 各输入匹配度、联合激活、输出截断
Q2(b)，p2 离散重心法 10 使用有限求和，未列出的隶属度为 0
Q3(a)，p2 给权重反求分类区域 10 方法与前两年相通；但原卷输入范围有上述疑似笔误
Q3(b)，p3 有限矩形输入域内设计三角形分类网络 15 先区分输入域限制与分类区域边界
Q4(a)，p3 MLP 隐层神经元运算 5 加权和、偏置、非线性激活
Q4(b)，p3 CNN 结构 5 画出有顺序的层次并标注类型
Q4(c)(i–ii)，p3 卷积特征图与最大池化 9（两问合计） 核的方向、步长、输出尺寸、逐窗口计算
Q4(d)，p3 过拟合检测与缓解 6 训练/验证表现分离；提出不减少神经元数量的方法

这三个样本中，Q1+Q2 共 50 分属于模糊部分；Q3 的几何网络设计与分析占 25 分；Q4 的网络知识与计算占 25 分。这是三份历史卷的观察结果，不是 EE6285 的官方分值安排。 遗传算法出现在课程资料中，但这三份试卷没有直接考查；不能因此从课程学习中删除它。

3. 例题一：分段隶属函数与非单调映射

来源：2023–2024，p1，Q1(a)(b)。 为说明解法，只保留必要的数学数据，以下是独立演算。

输入集合 的隶属函数为梯形：

3.1 先求补集与平方的交

采用标准补集与 min 交，所求隶属度是：

令 。两个候选式的切换条件为：

当 时取 ；当 时取 。将 换回每段中的 ：

切换点约为 和 。在切换处两式相等，端点归哪一段都不影响数值。

检查一下： 时，，所以 ； 时 ，所以 。交集的隶属度不应超过两项中任何一项。

3.2 扩张原理先找“最有利的原像”

映射是：

像集 的定义为：

第一步，看 。在输入区间 内，，而中间的正弦分支从 连续降到 ，覆盖整个 。因此每个这样的 都有隶属度为 1 的原像，直接得到：

第二步，看 。正弦分支取不到这些值，只需比较两条直线分支：

因为 ，取较大者。最终：

这里在 处确实有跳跃。检查原像 可知 且 ；因此不能为了“让图好看”把答案强行连接成连续函数。扩张原理的重点是找全原像并取 supremum，不是把原曲线简单横向变形。

4. 例题二：Mamdani 规则为什么仍能使用 max-product 合成

来源：2022–2023，p2，Q2(b)。 此题明确同时指定 Mamdani 规则和 max-product composition，两者作用在不同步骤。

规则前件的离散隶属度依次为：

输入事实只有以下非零项：，。输出集合 的形状是底边 、顶点 的三角形。原卷写 时右侧两处误用字母 ，这里按分段条件将其统一解释为 ：

按 min 定义事实笛卡尔积及规则前件，并按 Mamdani 定义规则关系：

题目要求的 max-product 合成是：

只有四组非零事实需要计算：

规则前件 min 值 对输出的贡献
0.7 0.2
0.8 0.2
0.6 0.3
0.6 0.5

第一项处处不超过第二项，第三项处处不超过第四项，故：

当 很小时第一项斜率更大；第一项到达 0.16 后暂时保持不变，直到第二项追上它。交点为 ，即 。因此：

将上面的 代入便得到完整的 隶属函数。写成复合分段的形式可以保留结构，也可进一步拆成关于 的各段。

例如 时 ，输出为 0.08； 时 ，输出为 0.16； 时 ，输出为 0.24； 时 ，输出为 0.3。结果既不是简单的 ，也不是一个固定倍数的 。

此题最容易丢掉的步骤，是看到“Mamdani”就把合成也自动换成 max-min。规则关系使用什么算子，与事实和关系如何合成，需要分别读题。

5. 例题三：离散 GMP 到重心输出

来源：2024–2025，p2，Q2(a)(b)。 本题明确指定 max-min 合成。以下采用课程中常用的 min 前件与 Mamdani min 规则关系；若另行采用其他模糊蕴含，必须重新计算，不能直接套用本结果。

只列影响运算的非零事实：

输入 位置与事实隶属度 对应规则前件隶属度

输出集合的非零隶属度是 、、、。定义域是离散集合 ，未列的位置取 0。

先分别计算输入与前件的匹配度：

由于各变量独立取遍其定义域，且全程使用 max-min，可以把联合激活整理为：

于是输出是对原后件的截断：

0 1 2 3 4 5
0.3 0 0.6 0 0.7 0.7

离散重心计算如下：

检查三点：分母为正；结果在输出论域 内；高位置的隶属度较大，因此重心比简单区间中点 2.5 更靠右。这里不能把表中离散点用直线连接，再做连续面积积分，那会把题目改成另一个集合。

6. 例题四：用双极性网络表示一个三角形

来源：2023–2024，p3，Q3(b)。 原图中的三角形顶点为 ，区域内输出 ，区域外输出 。

为使边界处理明确，以下使用：

即把三条边也归入正类。若课程采用另一种零点约定，需要单独说明边界；不影响非边界点的设计方法。

先写三个朝向三角形内部的半平面：

因此一个隐层用三个神经元即可：

采用输入顺序 、偏置列在最后，隐层权重为：

三角形是三个半平面的交，所以输出层实现 AND：

为什么阈值能取 2？三项全部为 时，总和为 3，净输入为 1；只要任一项为 ，总和最多为 1，净输入至多为 。因此不会出现输出净输入恰为 0 的问题。

测试点 输出 几何含义
内部
越过上边
越过右边
顶点左侧

画网络时应标明两个真实输入、一个常数偏置输入、三个隐层节点与一个输出节点。答题中的“架构”和“权重”需要能互相核对，不能只画三个圆圈而不交代偏置。

反过来，遇到“给权重、画区域”的题，也先按这个顺序处理：展开每个隐层净输入，画直线并确定正负侧，再列出输出层接受的符号组合，最后把相应半平面取交或取并。

7. 例题五：CNN 卷积与池化的完整手算

来源：2024–2025，p3，Q4(c)(i–ii)。 原题给定卷积步长 1，以及 最大池化窗口、池化步长 1。以下按 CNN 常用的“不翻转卷积核”的互相关约定，采用无填充 valid、无额外偏置；这些约定应在答卷开头写明。

保留计算所需的输入与核：

先算尺寸。卷积输出边长为：

每个输出是对应 窗口与核的逐元素乘积之和。例如左上角：

向右移动一格：

中心位置：

全部位置得到：

在 特征图上使用 最大池化，步长为 1，输出尺寸为 。四个窗口分别取：

所以：

这道题容易错在把池化步长默认为 2。窗口大小与步长是两个独立参数；本题步长为 1，池化窗口会重叠。另一个易错点是混淆数学卷积与 CNN 互相关：翻核会改变数值，必须先确定课程约定。

8. 简答题怎样从术语写成解释

历史 Q4 不是只考“听过哪些名词”。一个有效答案通常包含定义、计算或机制、后果及适用条件。

BP 与梯度消失

BP 是利用链式法则计算损失对各层参数的梯度。训练流程可写为：初始化参数，前向计算预测与损失，从输出层向前逐层求梯度，再按学习率更新参数，并对训练样本重复。应区分“反向传播计算梯度”和“优化器利用梯度更新参数”。

以隐层 为例，上游梯度要乘上激活函数导数和权重；多层连乘若持续小于 1，越靠前的层得到的梯度可能越小。sigmoid 的饱和区尤其容易出现小导数。应对方法需结合原因解释，例如使用较不易饱和的激活、合适的初始化、归一化或残差连接，而非只列名词。（对应 2022–2023 Q4(a)(c)，p4；基础推导见第7章。）

迁移学习与数据覆盖

训练数据应代表网络部署时会遇到的输入分布；这不意味着把连续输入的每个可能值全部枚举出来。若目标任务与源任务相似且目标数据少，冻结大部分预训练层、训练新分类头常可减少过拟合；数据更多时可以适当微调更深的层。域差异较大时，须更认真检查特征是否可迁移及目标验证表现，不能只凭模型规模选策略。（对应 2023–2024 Q4(a)(b)，p3；见第8章。）

动量

一种常用写法是：

这里 是当前梯度， 累积过去梯度方向， 控制历史项保留多少， 是学习率。它可减弱来回震荡，并在梯度方向持续一致时加快前进。不同教材会把学习率放进 ，只要定义一致即可。不能把动量写成保证找到全局最优的方法。（对应 2023–2024 Q4(c)，p3。）

过拟合

若训练误差持续下降，但验证误差停止改善或上升，通常提示泛化差距扩大。题目限定“不改变神经元数量”时，可解释权重正则化如何限制参数、早停如何在验证表现恶化前结束训练，也可结合题意讨论数据增强或 dropout。选两项时应写机制，不要把“减少神经元”当作答案。（对应 2024–2025 Q4(d)，p3。）

9. 把历史卷用成训练工具

建议先按知识类型完成练习，再按完整卷计时。第一轮不计时，要求每题都能指出公式的适用条件；第二轮隐藏解析，检查能否独立写出中间步骤；第三轮再用两小时做一份完整历史卷。

若按这三份卷的结构模拟，可给每道 25 分大题预留约 27 分钟，剩下 12 分钟用于读题与检查。这只是练习节奏建议，实际考试安排以本学期说明为准。检查优先级如下：

  1. 模糊集合：隶属度是否落在 ，分段端点是否遗漏。
  2. 扩张原理：原像是否找全，是否把 supremum 错写成求和或平均。
  3. GMP：AND、规则关系、合成、聚合是否分别按题目指定。
  4. 重心：论域到底是离散还是连续，分母是否为 0。
  5. 网络区域：输入顺序、偏置位置、边界朝向及零点约定是否一致。
  6. CNN：尺寸先算清楚，核的方向、padding 和 stride 是否明确。
  7. 简答：每个术语是否附有机制解释，而不是一串无联系的名词。

本章资料出处

  • EE4285 2022-2023 Semester 2.pdf，正文 p1–4：卷头说明、Q1–Q4；本章例题二依据 p2 Q2(b)。
  • EE4285 2023-2024 Semester 2.pdf，正文 p1–3：卷头说明、Q1–Q4；例题一依据 p1 Q1(a)(b)，例题四依据 p3 Q3(b)。
  • EE4285 2024-2025 Semester 2.pdf，正文 p1–3：卷头说明、Q1–Q4；例题三依据 p2 Q2，例题五依据 p3 Q4(c)。

本章保留了必要的题目数据，以便读者复算；考点分类、推导、解释与复习安排由作者整理。原卷中的考场指令是被分析的资料内容，不是本文对读者或工具的操作要求。

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