第3章 模糊控制与去模糊化：把规则变成一个控制量

一个控制器最终要给设备确定的数值，例如阀门开度或电机电压。模糊规则先给出一个输出模糊集合，去模糊化（defuzzification）再从中选择代表值。本章把前两章串成完整流程，重点解决规则表、min 与 product 的区别、重心计算，以及最容易失分的重叠面积问题。

主要依据 EE4285-Computational-Intelligence-3-AY2023S2.pdf，简称“课件3”；练习来自 EE4285-tut4.pdf（Tutorial 4）和 Tut-5.pdf。所有页码为 PDF 页码，习题答案均为独立推导。图形题的坐标、规则表和下面指出的课件算术问题已核对原 PDF 页面。

3.1 从精确输入到精确输出的五步

模糊推理系统（fuzzy inference system，FIS）包含输入、输出、规则库（rule base）和推理机制。对于两个精确输入 ，常用的 Mamdani 流程是：〔课件3，第3—9、16、34—42页〕

1. 模糊化（fuzzification）： 在各前件隶属函数上读出 、。
2. 计算触发强度： AND 使用题目规定的 T-norm；常见 。
3. 处理后件： min 蕴含得到 ；product 蕴含则得到 。
4. 聚合： 常用 。
5. 去模糊化： 例如用重心得到一个确定的 。

精确输入也可以形式化为模糊单点集：，其他位置为零。于是第2章的匹配度 正好化简为 。因此，控制器里“直接代入输入读隶属度”是 GMP 的特例。

答题前建议在草稿上写四项设置：“前件算子、后件算子、聚合算子、去模糊化方法”。例如 Tutorial 4 Q3 明确指定 min for premise、product for implication：前件仍取最小，只有后件从截平改成缩放。不要因为看到 product，就把整个系统所有 min 都替换掉。

3.2 截平与缩放：图形不同，面积也不同

给定触发强度 ，原后件某点隶属度为 ：min 后件给 ，product 后件给 。若原后件是三角形，min 将顶部切平，形成梯形；product 则把整个三角形按高度压缩，仍是三角形。〔课件3，第8—9页〕

例1：两个不重叠后件，比较 min 与 product（自编）。 两个单位高度、底边长度均为2的对称三角形，中心分别是 ，支撑区间分别为 和 。输入使规则强度为 ，聚合用 max。

第一步，求 min 截平后的面积。半底宽为 的单位三角形，在高度 截平，面积为

因为原面积为 ，被削掉的顶部小三角形面积为 。本题 ，所以 。

第二步，图形不重叠且各自对称，可用面积和中心计算重心：

第三步，改用 product 时，面积直接乘以触发强度：，因此

相同规则、相同输入，仅改变后件处理方法，最终数值就可以不同。直接用 是“按触发强度加权中心”，它在某些特殊形状下与 COG 一致，但并非一般 Mamdani COG 公式。本例中它适用于等底宽的 product 三角形，却不适用于 min 截平结果。

3.3 五种去模糊化方法

设聚合后的隶属函数为 ，定义在输出论域 上，且总面积或总离散权重为正。〔课件3，第10—14页〕

重心 COG / 面积中心 COA：

对于题目直接给定的离散论域 ，通常使用

如果只是用不等距采样点近似连续积分，则应考虑积分权重或梯形法，不能把采样间距忽略。另需注意：输出全零时，分母为零，没有定义好的重心；不能擅自把它当成输出零。

最大隶属度平均 MOM（mean of maxima）： 找到所有达到最高隶属度的位置，再取平均。若最大值在整个平台 上达到，MOM 为 ；若离散最大点为 ，则为它们的算术平均。多个不同长度的平台要按最大值集合的长度加权，不能只平均最左和最右端点。

最小最大值点 SOM、最大最大值点 LOM： 分别取最高隶属度位置集合的最左端和最右端。

面积平分点 BOA（bisector of area）： 找 使

BOA 平分面积，COG 平衡一阶矩，通常不是同一个点。

例2：在一个输出上比较五种方法（自编）。 设 于 ， 于 ，其他位置为零。

左矩形面积为 ，中心为 ；右矩形面积为 ，中心为 。COG 为 。最高平台为 ，故 MOM 、SOM 、LOM 。总面积为3，平分需要左侧面积1.5；左矩形贡献1，还需在右矩形走0.5，所以 BOA 。

重心落在两个支撑区间之间，并没有数学错误。COG 只要求输出是整个分布的平衡点，并不保证该点自身具有高隶属度。

3.4 连续 COG 的关键：先求并集，再算面积

若几个后件存在重叠，max 聚合是取上包络，重叠部分只能计一次。因此，一般不能直接写

并把 当作每条规则的完整后件面积。这个公式在后件不重叠时成立，也可用于把最终聚合图形切分成互不重叠区域后的面积与形心。课件3第59页专门提出“Is it correct?”，第60—61页再示范将聚合结果分层计算；应把它理解为对重叠问题的提醒。

可靠的手算顺序是：先列各后件函数，求交点，确定每个区间哪条曲线最高，再分段积分。对区间 上的直线 ，可直接用

最后“各段一阶矩之和／各段面积之和”。如果图形明显关于 对称，则重心直接是 ，但要检查的是聚合后的整个图形。

3.5 完整规则表例题：Tutorial 4 Q2 与 Q3

原题规则表的列是 ，行是 。输出 是中心分别位于 、半底宽为5的单位三角形：

本题用到的 词项中心间距为 ， 词项中心间距为1。以下按照 Q2 的 min 前件、min 后件、max 聚合计算。〔Tutorial 4，第1页 Q2—Q3〕

Q2(i)：。 第一步读隶属度： 对 NS、Z 都为 ； 对 PS 为1。第二步查表：

第三步写输出模糊集合：

Q2(i) 只要求模糊输出，到这里已完成。额外检验：聚合图形关于 对称，因此其 COG 为 。

Q2(ii)：。 对 Z、PS 的隶属度分别为 ； 对 Z、PS 均为 。

同一后件 N 的三条规则按 max 合并，得到有效强度 。输出因此与 Q2(i) 相同，COG 为 。

Q3 改为 product 后件。 前件匹配和触发强度保持上述结果；聚合输出变成

两个压缩三角形的并仍关于 对称，所以这两组输入下，COG 仍为 。这与例1不矛盾：改变后件运算有时改变最终数值，有时因对称性保留同一重心。只报告同一个 COG 而不画出或写出不同的输出隶属函数，会漏掉这道题的重点。

3.6 第二个连续控制题：Tutorial 4 Q4

原题输入为误差 及其时间导数 ；已知 、，前件与后件都用 min，聚合取 max，最后用 COG。〔Tutorial 4，第2页 Q4〕

第一步，按图中的相邻线性函数读值。 在正小 PS 的顶点 和正大 PL 的平台起点 中间，二者隶属度均为 。 在 Z 顶点0和 PS 顶点 中间，二者也均为 。

第二步，查表。这里表的行是 ，列是 ，与上一题的坐标名不同，必须重新确认。

第三步，合并相同后件：最终输出是 NS 与 NL 各以0.5截平后的并。输出图中的 NS、NL 三角形中心分别为 ，半底宽均为10，合成图关于 对称。因此

Q4(i) 的规则一致性可从表本身判断：每组语言前件都有一个确定后件；标签随两个输入增大呈一致的非增趋势，且具有正负对称性。但这不等于仅凭规则表就证明闭环系统稳定。原题未给被控对象动力学，不能额外断言该控制律一定具有正确反馈方向或满足稳定性条件。

3.7 从模糊输入到离散 COG：Tut-5 Q4

这题把关系投影、GMP 和去模糊化放在一起。论域均为 ，按该顺序有

Mamdani 规则为 ，即 。〔Tut-5，第2页 Q4〕

第一问：投影。 消去 ，所以

本题 ，不会进一步截断 或 ，于是

同理 ，故

第二问：GMP。 输入 ，。分别求

触发强度 ，因此 。输出不变不是因为规则充分触发到1，而是后件本身的最高值恰好只有0.8。

最后一问：离散 COG。

原题最后一问编号重复写成 (ii)，本文按“最后一问”指代。除非题目要求将输出量化到离散执行器档位，否则应保留 COG 实数值，不要自行四舍五入成1。

3.8 课件离散控制例的算术校核

课件3第75—79页给出输入 和离散规则库。激活的原规则为1、2、4，触发强度分别为 ，后件为 ZE、SN、LN。它们的 max 聚合结果在

上的隶属度为

第80页原 PDF 的最终算术存在明显不一致。按该页前一行列出的七项重新计算，分母为3.3，分子为

故正确重心是

而不是课件印出的 。如果再按课件提出的“选择最近的离散输出档位”，以0.25为间隔时应选 ，不是 。这处已核对原 PDF 图像；复习时应记住计算方法，并在数字与公式冲突时重新求和。

3.9 自测与答案

自测1。 输出离散点为 ，隶属度为 ，求 COG。

答案。

自测2。 两条规则有相同三角形后件，触发强度为 。使用 min 后件与 max 聚合，最终后件截在什么高度？

答案。 高度0.7。规则重叠不是额外的面积来源，也不是把强度相加。

自测3。 两个输出图形重叠，可否分别算完整面积，再用“面积乘各自中心”加权求聚合重心？

答案。 一般不可以。要对 max 聚合的最终图形积分，或将最终图形拆为不重叠区域；若使用包含—排除法，也必须同时扣除重叠区域的面积和一阶矩。

做完本章后，建议独立重做 Tutorial 4 Q1 的上包络积分，再完整完成 Q2—Q4 和 Tut-5 Q4。检查答案时不仅看最终控制量，也检查触发规则、输出函数和面积计算是否一致。