第1章 模糊集合：把语言变成可以计算的对象

“温度高”“速度慢”“大约十个”都可以用于判断，却没有唯一、锋利的边界。模糊逻辑（fuzzy logic）的第一步，是给这些语言概念建立隶属函数，再在函数上计算。本章建立后面模糊推理和控制所需的全部集合工具。

本章依据 EE4285-Computational-Intelligence-1-AY2023S2.pdf，下文简称“课件1”；补充练习来自 EE4285-Tut1.pdf、EE4285-Tut 2.pdf 和 Tut-5.pdf。页码均为 PDF 页码。课程材料混用 EE4285 与 EE6285 编号，本文按所提供资料整理。标为“独立推导”的答案是本文重新计算的结果，不代表学校官方答案。

1.1 隶属度的意义：属于多少，而不是发生概率

普通集合（crisp set）的特征函数只有 、：某元素属于集合，或不属于集合。模糊集合（fuzzy set）把值域扩展为 ：

是论域（universe of discourse）， 是论域中的元素， 是 对概念 的隶属度（membership grade）。例如， 表示“175 cm 符合这套‘高个子’定义的程度是 0.6”。它不表示此人有 60% 的概率高于某个确定阈值。概念的标准可以依应用变化；课件用不同群体对“高”的判断解释这一点。隶属度也不要求对全部元素求和等于 1。〔课件1，第8—15页〕

离散集合常写成

这里的斜线是“隶属度／元素”的配对记号，“加号”是列举记号，不是数值除法和加法。连续论域上的 同样是集合记法，不是求积分；到了重心去模糊化时出现的 才是通常的积分。〔课件1，第16页〕

1.2 四类隶属函数及其参数

三角形、梯形适合手算；高斯形和钟形适合平滑建模。课件给出的常见形式如下。〔课件1，第17—18页〕

遇到肩形函数或重合端点，不要硬套分母为零的表达式，应直接采用图中规定的分段函数。

例1：定义“大约 10”（自编）。 选取 ，即

第一步，把数值放到正确区间。 在上升段，因此 。 在下降段，因此 。

第二步，提取集合特征。支撑集（support）是所有隶属度严格大于零的点，所以为 ；核（core）是隶属度等于 1 的点，所以为 ；交叉点（crossover points）满足隶属度为 ，所以为 。

第三步，计算截集。 截集（-cut）使用“”：

因此 。强截集使用“”，当 时是相应开区间； 的强截集为空集。注意 是特殊边界：按“”定义，，不能把上面只适用于正 的区间公式机械延伸。〔定义依据：课件1，第19—22页；练习连接：Tutorial 1，第1页 Q1(ii)〕

高度（height）是 ；离散题中就是最大隶属度。课件以核非空定义正规性（normality）：存在点达到 1。只满足高度的上确界为 1，却没有达到 1 的点时，要留意这一措辞区别。模糊单点集（fuzzy singleton）则只在一个点有值 1，其他点为 0。〔课件1，第20—21页〕

凸性（convexity）并不是图像向上或向下弯。模糊集合凸，是指

在实数轴上，可通过所有非空截集是否都是区间来理解。三角形是凸的；两个分离的山峰通常不凸。课件第19页列出了凸性和模糊数（fuzzy number）；这里补充其常用数学定义以帮助读图，不能把“模糊集合”与“模糊数”当作完全同义词。

1.3 补、交、并与语言修饰

本课程的默认集合运算是标准补、最小交、最大并：

包含关系 的条件是：对每一个 ，都有 。比较平均值或只检查某个点都不够。〔课件1，第24—31页〕

例2：逐点运算（自编）。 设 ，，，括号内依次是三个元素的隶属度。

例如在 ，交集取 ，不是 。另外，，：一般模糊集合并不满足经典集合中“自身与补集的并恒为全集、交恒为空集”的结论。〔练习连接：Tut-5，第1页 Q3(iii)〕

更一般的“与”使用三角模 （T-norm），“或”使用 （S-norm，也叫 T-conorm）。课程列出的两对是：

它们需满足边界、单调、交换、结合等性质。标准补 下，代数积和代数和互为 De Morgan 对偶，因为

取 ，代数积为 ，代数和为 ；它们与 min/max 的 不同。因此，题干若指明 product，就不能仍按默认 min 计算。〔课件1，第27—30页〕

1.4 三种容易混淆的“扩展”

第一种是笛卡尔积（Cartesian product）：把 上的 和 上的 组成 上的集合，课程默认

第二种是柱状扩展（cylindrical extension）：把同一组隶属度沿新维度复制，

第三种是扩展原理（extension principle）：给定真正的数值函数 ，把输入模糊集合映射为输出模糊集合。它会改变元素的取值，而不只是增加一个坐标。〔课件1，第33—43页；Summary of key concepts in fuzzy inference.pdf 第11页〕

与增加维度相反，**投影（projection）**消去一个坐标：

矩阵中的行对应 、列对应 ，投影到 就逐行取最大值，投影到 就逐列取最大值。它是在问“是否存在某个另一坐标使关系高度成立”，因此采用 max。〔课件1，第36—37页；Summary 第6—9页〕

例3：Tutorial 1 Q4，独立推导。 原题矩阵为

逐行最大值得 ，逐列最大值得 。柱状扩展 的每一行都是对应行最大值的四次重复； 的每一行都是向量 。

证明包含关系时不必逐项抄写两个大矩阵。因为任一 同时小于等于本行、本列最大值，所以

这是后续关系包含证明的基本写法：把集合包含转成逐点不等式。〔Tutorial 1，第1页 Q4〕

1.5 扩展原理：先找全部原像，再取最大值

一元函数 诱导的模糊集合为

若不存在原像，结果为 0；有限论域或最大值能够达到时，可把 写成课件使用的 。多个输入时，先用 min 合成这一组输入的隶属度，再对所有能产生同一个输出的输入组取最大：

“同一个输出有多个来源”是这类题的核心，不能只取一个反函数分支，也不能把来自不同原像的隶属度相加。〔课件1，第38—43页〕

例4：课件离散映射，重新列步骤。 输入

输出 只有来源 ，隶属度是 ；输出 有来源 ，取 ；输出 有来源 ，取 。因此

〔课件1，第40页；同类练习：Tutorial 1，第1页 Q3〕

例5：Tutorial 2 Q2，连续分支的独立推导。 已知

第一步，解原像：，须有 。第二步，检查分支何时落在非零区间：左支在 有效，贡献 ；右支在 有效，贡献 。第三步，在两个分支共存的区间比较，右支始终不小于左支。因此

检查三个点：，，。这也说明“输入是三角形”不意味着“输出仍是三角形”，非线性映射会改变形状。〔Tutorial 2，第1页 Q2〕

进阶例：Tut-5 Q3(iv)，输出出现平台

原题输入在 线性上升， 保持1，再在 线性降至0；映射为 。第一步确定输出范围： 对应 。令 ，两个原像是 与 ，其中 。

左支总在输入上升段，贡献 。右支在 时落在平台，贡献1；在 时落在下降段，贡献 。后一个值与左支之差为 ，所以整个范围内都是右支决定输出。整理得到

例如 时，，原像为2和8；两者输入隶属度分别为0.4和0.5，故输出为0.5。 时原像为4和6，贡献0.8和1，故输出为1。这个例子说明：映射后的满隶属区间应从全部原像中寻找，不能只看输入峰值被送到的单个位置。〔Tut-5，第1页 Q3、第2页 Q3(iv)，独立推导〕

1.6 练习路线、易错点与自测

建议先做 Tutorial 1 Q1—Q2，练习建模与逐点集合运算；再做 Tutorial 1 Q3—Q4、Tutorial 2 Q1—Q2，练习维度和原像；最后做 Tut-5 Q1、Q3，练习分段函数、多分支和补集。Tutorial 2 Q1 的 最高隶属度是 ，所以 投影到 时得到 ，并不自动恢复完整的 。这是一道检查“非正规集合是否会截断投影”的好题。〔各题均见相应 PDF 第1页，Tut-5 Q3(iv) 延至第2页〕

本章最常见的失误是把隶属度当概率、把模糊集合记号当算术、把投影方向颠倒，以及遗漏非单射函数的原像。做题时建议先写论域和运算定义，再代数值。

Tutorial 2 Q1 的进一步核算。 该题给出 、，论域为 。令 ，则

分母为正，，二次项的判别式为 且最高次系数为正，所以不等式在全论域成立。因此 ，直接得到 、，不必凭图形猜测交点。题中的 与 具有相同形状，但定义在 上。对 ，投影到 恢复 ，投影到 则是 在0.9处截平。具体说， 时这个投影为0.9，其他位置保留原来的 。检查中心点 ， 的隶属度为 ；检查 ，则为 。这些数值也提供了核对函数、矩阵或图像的简单方式。〔Tutorial 2，第1页 Q1，独立推导〕

自测1。 ，求 和 。

答案。 ；左边界为 1，右边界为 4，所以 。

自测2。 ，，输出在 的隶属度是多少？

答案。 ，不是 。

自测3。 已知 、 且最大值可达到。若 用 min 定义，投影到 是什么？

答案。 。只有在 正规时，才能对任意 保证投影完整恢复 。