第2章 模糊关系与推理：从“如果”算到“那么”

上一章把“快”“小”“大约”变成了隶属函数。本章进一步把“如果速度快，就增加制动力”变成关系，再让一个实际观察值经过关系产生结论。学完后，应能完成关系矩阵计算、语言修饰、广义肯定前件推理，以及典型的集合包含证明。

主要来源是 EE4285-Computational-Intelligence-2-AY2023S2.pdf，简称“课件2”；另参考 Summary of key concepts in fuzzy inference.pdf（简称“Summary”）、EE4285-Tut 3.pdf、Tut-5.pdf 和 EE6285-Fuzzy-Logic-Assignment-AY25S2.pdf（简称“模糊作业”）。页码均为 PDF 页码。下文习题解答均为独立推导。

2.1 关系矩阵与两种合成

二元模糊关系（binary fuzzy relation）是乘积论域上的模糊集合：

例如“ 比 大很多”的程度，需要两个数共同确定。离散时用矩阵表示，行代表 ，列代表 。若 是 矩阵、 是 矩阵，合成后是 矩阵。中间论域 被消去，但这里通常不是普通矩阵乘法。〔课件2，第3—12页〕

最大最小合成（max-min composition）为

可以把 理解为中间路径：每条路径取较弱的一段，再在全部路径中挑最强的。最大乘积合成（max-product composition）则是

两者外层都是 max。把“乘积”误读成普通乘法后再求和，会做成另一种运算。

例1：模糊作业 Q2，完整矩阵计算。 原题给出

以第一行第一列为例，三条路径的强度是 、、，所以结果为 。第二行第二列则为

逐项计算得到

用于自检：同一位置若改为 max-product，第一行第一列变成 。由于 ，在输入矩阵相同时，max-product 的每个结果都不会大于 max-min 的结果。〔模糊作业，第1页 Q2〕

2.2 语言变量与“非常”“不太”

语言变量（linguistic variable）是能取语言值的变量，例如 speed 可以取 slow、fast；每个语言值（linguistic value）对应一个模糊集合。课件用五元组 表示它：变量名、词项集合、论域、生成词项的语法、赋予隶属函数的语义。〔课件2，第13—18页〕

课程采用的常见修饰语（linguistic hedges）是

平方把 与 之间的值压低，体现“非常”更严格；平方根把中间值抬高，体现“多多少少”更宽松。“very, very”连续作用两次，所以是四次方，不是三次方。否定则取 ，计算顺序取决于语言的括号：

当 ，前者为 ，后者为 。课件也给出对比增强（intensification）：当 时为 ，当 时为 。这些是课程采用的定义，并非自然语言在所有应用中只有这一种建模方式。〔课件2，第19—23页〕

例2：模糊作业 Q3，修饰语的完整答案。 在 上，Small 与 Large 分别为

先逐点计算 、，再取补与交：

因此“not very small and not very, very large”对应

两端的隶属度为零符合直觉：最小的数不满足“不非常小”，最大的数不满足“不非常非常大”。〔模糊作业，第1页 Q3；类似分段练习：Tutorial 3，第1页 Q1〕

2.3 先定义蕴含关系，再选择合成运算

模糊规则“if is , then is ”需要编码为 。前件（antecedent）和后件（consequent）的隶属度记为 ，课程给出了两种不同编码。〔课件2，第24—29、42页；Summary 第19—25页〕

Mamdani 蕴含：

Zadeh 的 max-min 蕴含：

这里“Zadeh 的 max-min 蕴含”与前面的“max-min 合成”是不同层次：前者决定如何构造 ，后者决定如何让观察事实通过已构造的 。不能因为题干出现 max-min composition，就认定蕴含一定是 Zadeh，也不能认定一定是 Mamdani。

取 ，Mamdani 得 ，Zadeh 得 。尤其当前件为零时，Mamdani 给零，Zadeh 给一。因此，不同编码得到不同结论并不是计算矛盾。

原课件2第42页的 Zadeh 例题有一个可核对的笔误： 对应的矩阵项被写成 ，按该页公式应为 ，即矩阵第二行第五列应为 。本文已查看原 PDF 页面确认，该问题不只是文本抽取失真。

2.4 广义肯定前件：事实不必与前件完全一样

普通肯定前件推理（modus ponens）是“已知 ，又知 ，所以 ”。模糊推理允许已知事实是与 部分匹配的 ，输出也相应成为 。这称为广义肯定前件（generalized modus ponens，GMP）：

几何上，是先把 柱状扩展到 ，与关系取交，再投影到 。这把第1章的三个工具连成了一条计算链。〔课件2，第31—39页〕

在 Mamdani 蕴含 + max-min 合成 这组特定条件下，可令

从而简化为

是匹配程度（degree of compatibility），结果是把后件在高度 处截平（clipping）。这个捷径不能未经检查用于 Zadeh 蕴含。〔课件2，第44—45页〕

例3：模糊作业 Q4，按 Mamdani 编码独立推导。 规则前件“zero”和输入事实“positive small”的非零点为

在 ，匹配度为 ；在 ，为 ；其余点不能提供更大的值，所以 。后件

被截平，得到

在原题完整论域 的其他点隶属度均为零。

原题写明 max-min 合成，但该页没有显式指定蕴含名称；这里采用课件的常用 Mamdani 编码。如果改成 Zadeh 蕴含，同一题会得到整个 上恒为 的结果： 满足 、，已使每个输出达到 ；其他输入点不会提高它。答题时把采用的蕴含公式写出来，可以避免把一个隐含假设当作唯一答案。〔模糊作业，第1页 Q4〕

2.5 多前件与多规则

规则“if is and is , then is ”在 Mamdani 下编码为三元关系：

观察事实为 ，先分别求匹配度

再求触发强度（firing strength），最后 。若前件逻辑是 OR，则应按题目给定的 OR 算子组合，默认 max。注意两个前件的匹配度、规则的触发强度、后件的隶属函数，是三个不同对象。〔课件2，第46—48页〕

例4：Tutorial 3 Q2(c)。 按原题 的顺序列出：

逐点交得到 ，故 ；，故 。触发强度为 ，所以

原本后件中最高的 被压为 ，其他低于 的值保留。若题目要求 Q2(b) 的完整关系， 是三维数组；可把 编成 25 行、 编成5列，但必须说明索引。它也可由 、 扩展至共同三维论域后逐点取 min 得到，不能直接对两个语义不同的二维矩阵做“交”。〔Tutorial 3，第1页 Q2〕

多条规则通常逐点取最大值聚合（aggregation）：

相同后件的多条规则可以先把触发强度取最大；例如两个规则都输出 ，强度为 ，合并后相当于以 截平 。不能把强度相加成 。〔课件2，第49—53页〕

2.6 证明题：把每一步的依据写出来

max-min 合成对并集可分配，而对交集一般只有弱分配：

最简证明利用单调性： 且 ，合成后同时包含于 和 ，所以包含于它们的交。若展开成式子，则每条共同路径都不可能超过左右两边分别选出的最佳路径。两个最佳路径可能不是同一个，因此未必有等号。〔课件2，第8—9页；Tutorial 2，第1页 Q3〕

一个严格不等的自编反例是 、、。 全零，左边为零；右边两个合成都为 1，其交仍为 1。

模糊作业 Q1 的完整证明。 目标为

先用对并集的分配律：

再对两项分别用弱分配关系：

最后取并即可。此证明的交、并分别指 min、max，合成指 max-min。〔模糊作业，第1页 Q1〕

结合律也是常考性质。max-min 合成可把两种括号都化为

所以 。max-product 同样满足结合律，两种括号均化为

其中利用隶属度非负，乘以固定非负数可以与 max 交换。〔Tut-5，第1页 Q2〕

不过，不能把所有 min 相关结论逐字替换成 product。Tutorial 3 Q3 问“max-product 合成 + 代数积交集”下弱分配是否仍成立，答案是否定的。只需取单元素论域 ：左边 ，右边 ，不满足所要求的 。〔Tutorial 3，第1页 Q3〕

2.7 自测与答案

自测1。 ，，。采用 Mamdani 与 max-min，求输出。

答案。 ；输出 。

自测2。 已知两个前件匹配度为 ，输出某点的原隶属度是 。min 前件、min 蕴含得到多少？若只把蕴含换为 product 呢？

答案。 触发强度均为 。前者 ；后者 。前件运算和后件运算不能混为一谈。

自测3。 “Max-product 合成满足结合律”能否推出“它与代数积交集满足上述弱分配律”？

答案。 不能。结合律讨论合成自身的括号；弱分配律讨论合成与另一种集合运算的相互作用。上面的单元素反例已经否定后者。