第10章 决策分析：不确定性准则、决策树与效用

1. 决策问题的三要素

• 方案（决策者能选的）：$a_1,a_2,\dots$
• 自然状态（决策者不能控制的未来情景）：$s_1,s_2,\dots$
• 收益矩阵：$v_{ij}$ = 选方案 $a_i$、出现状态 $s_j$ 时的收益。

按对未来情景的了解程度分两种情况：不确定（不知道各情景的概率）和有风险（知道概率）。

主线例子： 某人打算用一块空置铺面开店，四个方案的三年回报率（%）取决于周边发展：

2. 不确定条件下的五种准则

悲观准则（最大最小）： 每个方案看最坏情况，选最坏情况最好的。

选 B。适合输不起的决策者。

乐观准则（最大最大）： 每个方案看最好情况，选最好情况最好的。

选 C。

Laplace 准则（等可能）： 既然不知道概率，就假设各情景等可能，比较平均值。

选 C。

后悔准则（最小最大后悔）： “后悔值”= 该情景下的最好收益 − 自己的收益。先按列求后悔矩阵，再按行取最大后悔，选最大后悔最小的方案。

各列最好值：$s_1$ 为 7，$s_2$ 为 10，$s_3$ 为 16。

选 D。后悔准则避免的是“事后发现差得太远”。

Hurwicz 准则（乐观系数 $K$）： 介于悲观和乐观之间，对每个方案计算

$K=0$ 就是悲观准则，$K=1$ 就是乐观准则。主线例子：

四条直线在 $[0,1]$ 上比较。求交点：$H_B=H_D\Rightarrow K=1/6$；$H_C=H_D\Rightarrow K=3/5$；（$H_A$ 始终在 $H_D$ 之下，因为 $5+7K<6+8K$。）

3. 风险条件下：期望值

知道各情景的概率 $P(s_j)$ 时，比较期望收益 $\sum_j P(s_j)v_{ij}$。若主线例子中三种情景的概率是 0.5、0.3、0.2：

选 D。

4. 决策树

多阶段决策（先做一件事、看到结果、再决定下一步）用决策树表示：

• 方框：决策节点，选择其中最好的分支；
• 圆圈：机会节点，按概率加权求期望；
• 叶子：最终结果（通常写成最终资产或总收益）。

计算方法是从右往左回推：机会节点取期望，决策节点取最大，直到根节点。

例1： 公司现有资产 500（千元），考虑推出新产品。

• 直接上市：成功概率 0.5，成功赚 300；失败亏 150。
• 先做市场测试（花 20）：测试结果“乐观”的概率 0.6，此时上市成功率升到 0.75；结果“悲观”的概率 0.4，此时成功率只有 0.125。看到测试结果后再决定上市还是放弃（放弃则只损失测试费）。

（检查：$0.6\times0.75+0.4\times0.125=0.5$，与不测试时的成功率一致。）

回推：

1. 测试乐观后上市：$0.75\times300+0.25\times(-150)=187.5>0$，选上市；
2. 测试悲观后上市：$0.125\times300+0.875\times(-150)=-93.75<0$，选放弃（0）；
3. 测试的期望：$-20+0.6\times187.5+0.4\times0=92.5$；
4. 直接上市的期望：$0.5\times300+0.5\times(-150)=75$；
5. 不做也行：0。

最优策略：先做市场测试；结果乐观就上市，悲观就放弃。 期望收益 92.5，期望最终资产 592.5。

这个策略下的最终资产分布：

检查：$0.45\times780+0.15\times330+0.4\times480=351+49.5+192=592.5$ ✓。最可能的最终资产是 780（概率 0.45）。

5. 效用：为什么人会花钱买确定性

期望值准则假设决策者对风险无所谓。现实中，大多数人宁可少赚一点也要避免大损失。效用函数 $u(x)$ 描述最终财富 $x$ 带来的满足程度，决策者最大化期望效用 $E[u(x)]$。

• $u$ 凹（如 $\sqrt x$、$\ln x$）：风险规避；
• $u$ 线性：风险中性，等价于期望值准则；
• $u$ 凸：风险偏好。

确定性等价（CE）： 让决策者觉得与某个风险方案一样好的确定金额，满足 $u(CE)=E[u(x)]$。风险规避者的 CE 小于期望值，差额叫风险溢价。

例2： 某人有 20000 元现金，要买一张机票去参加重要活动：

• 普通票 500 元，但有 10% 的概率航班严重延误，误了活动，额外损失 4000 元；
• 灵活票 $500+p$ 元，保证不会误事。

效用函数 $u(x)=\sqrt{x/20000}$，$x$ 为最终财富。他最多愿意为灵活票多付多少（$p$ 的最大值）？

普通票的期望效用：

灵活票的效用 $\sqrt{(19500-p)/20000}$。两者相等时就是愿付的上限：

最多愿意多付约 421 元。期望损失只有 $0.1\times4000=400$ 元，多出来的约 21 元就是他为“消除风险”付的溢价。

6. 小结

决策树：机会节点取期望、决策节点取最大，从右往左回推；最终给出策略、各最终结果及其概率。

自测