第7章 随机过程基础：几何分布、指数分布与泊松过程

1. 几何分布：第几次才成功

每次试验独立，成功概率都是 $p$。$X$ = 第一次成功发生在第几次：

$P(X>n)$ 的含义是“前 $n$ 次都失败”，所以是 $(1-p)^n$。在系统分析里，“成功”常常是某个事件发生：一个时间单位里工件加工完、刀具损坏、故障修好……

例1： 刀具每次加工有 2% 的概率损坏，$X$ 是它坚持到第几次加工时损坏。

• 平均寿命 $E(X)=1/0.02=50$ 次加工。
• 至少还能用 20 次以上：$P(X>20)=0.98^{20}=0.6676$。

无记忆性

证明只需一行：$P(X>m+n\mid X>m)=\dfrac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m}=(1-p)^n$。

例1 续： 已经用了 10 次还没坏，再用 30 次以上不坏的概率是多少？$P(X>40\mid X>10)=P(X>30)=0.98^{30}=0.5455$。已经用过的 10 次不影响将来——“旧刀”和“新刀”一样。

几何分布是唯一具有无记忆性的离散分布。

2. 指数分布：连续时间里的“等多久”

$\lambda$ 叫速率（每单位时间发生多少次），$1/\lambda$ 是平均时间。它常用来描述到达间隔、加工时间、准备时间、故障前时间、修理时间等。

无记忆性：

指数分布是唯一具有无记忆性的连续分布。这一点非常关键：正是因为它，连续时间马尔可夫链在某个状态里“已经待了多久”不影响将来，才能只用当前状态描述系统。

例2： 修理时间服从指数分布，平均 20 分钟（$\lambda=3$ 次/小时）。

• 超过 30 分钟的概率：$P(X>0.5)=e^{-3\times0.5}=e^{-1.5}=0.2231$。
• 已经修了 20 分钟，再过 10 分钟内修好的概率：$P(X\le30\mid X>20)=P(X\le10\text{ 分钟})=1-e^{-0.5}=0.3935$。

3. 两个指数时间“赛跑”

设 $X_1\sim\mathrm{EXP}(\lambda_1)$、$X_2\sim\mathrm{EXP}(\lambda_2)$ 相互独立。

第二个结论：$P(\min>x)=P(X_1>x)P(X_2>x)=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}$。第一个结论：

推广到多个：$n$ 个独立指数时间的最小值速率是 $\sum\lambda_i$，第 $i$ 个最先发生的概率是 $\lambda_i/\sum\lambda_j$。

例3： 机器加工一个零件的时间 $\mathrm{EXP}(0.4)$（每小时），故障前时间 $\mathrm{EXP}(0.1)$。

• 加工过程中“先完成还是先故障”：零件先完成的概率 $0.4/(0.4+0.1)=0.8$。
• 机器在“加工”状态停留的时间：$\min\sim\mathrm{EXP}(0.5)$，平均 2 小时——不论以哪种方式离开。

这正是第8章连续时间马尔可夫链里“一个状态有几个出口”的计算方法。

4. 随机过程的四种类型

随机过程 $\{X(t):t\in T\}$ 是一族随机变量，$t$ 通常是时间。所有可能取值组成状态空间 $S$。按时间和状态是离散还是连续分成四类：

接下来讨论两类“链”：离散时间马尔可夫链（DTMC）和连续时间马尔可夫链（CTMC），见第8章；以及一种特殊的连续时间链——泊松过程。

5. 泊松过程

$X(t)$ 表示 $[0,t]$ 内到达的个数。齐次泊松过程从 $X(0)=0$ 开始，不相交时间区间内的增量相互独立，长度为 $t$ 的区间内到达数服从同一个均值为 $\lambda t$ 的泊松分布：

此时 $\{X(t):t\ge0\}$ 是速率为 $\lambda$ 的泊松过程，$E[X(t)]=\lambda t$。它描述零件到达车间、任务到达计算中心、电话到达交换机、顾客到达柜台。只有单个时刻的泊松分布还不够，独立增量与平稳增量同样是定义的一部分。

令 $k=0$：$P([0,t]\ \text{内没有到达})=e^{-\lambda t}$。这正是“下一次到达的等待时间 $T$ 超过 $t$”的概率，所以

两句话记住泊松过程：

• 到达间隔服从速率 $\lambda$ 的指数分布；
• 长度为 $t$ 的时间内到达个数服从均值 $\lambda t$ 的泊松分布。

例4： 顾客按每小时 6 人的泊松过程到达。

• 10 分钟内恰好来 2 人：$\lambda t=6\times\frac16=1$，$P=e^{-1}\cdot1^2/2!=0.1839$。
• 15 分钟内没人来：$e^{-6\times0.25}=e^{-1.5}=0.2231$。
• 30 分钟内至少来 2 人：$\lambda t=3$，$1-e^{-3}(1+3)=0.8009$。
• 相邻两位顾客平均间隔 $1/6$ 小时 = 10 分钟。

6. 泊松流的合并与分流

合并（叠加）： $n$ 个独立的泊松流，速率 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，合在一起仍是泊松流，速率 $\sum\lambda_i$。例如两条生产线分别以每小时 4 件、2 件送来零件，检验台收到的是每小时 6 件的泊松流。

分流（分解）： 速率 $\lambda$ 的泊松流中，每个到达独立地以概率 $p_i$ 分到第 $i$ 类（$\sum p_i=1$），则第 $i$ 类是速率 $p_i\lambda$ 的泊松流，且各类之间相互独立。例如每小时 10 位顾客，30% 买 A 套餐，则 A 套餐的点单是每小时 3 单的泊松流。

7. 小结

• 独立指数时间的最小值：速率相加；谁先发生：速率占比。
• 泊松过程 = 到达间隔为指数分布的计数过程；合并速率相加，分流速率按比例。

自测